Поняття границі функції, властивості меж
Опубликованно 02.09.2018 15:08
В економічних, соціологічних та математичних прогнозах, що мають зв'язок з безперервними процесами, при обчисленні фінансової ренти, банківських відсотків, побудові асимптот для різноманітних графіків при дослідженні їх властивостей нерідко потрібні знання про те, що таке межа функції. Поняття це на рівні інтуїтивного сприйняття використовувалося, починаючи з кінця XVII століття, багатьма знаменитими вченими, математиками, механіками, фізиками, астрономами, в їх чудових дослідженнях. Новатором у даному питанні був ще Ісаак Ньютон. Його прикладу послідували незабаром знамениті Ейлер, Лагранж і інші геніальні наукові діячі. Але перші конкретні визначення в цій області в XIX столітті дали чеський учений Больцано і математик з Франції Луї Коші (його портрет подано нижче).
Числові ряди
Поняття межі послідовності й межі функції тісно пов'язані між собою. І це цілком природно. Дійсно, адже якщо деяка функція будується із певного ряду, значення якого знаходяться при зростанні натуральних чисел від 1 до ?, це і є числова послідовність.
Наведемо конкретний приклад. Нехай деякий ряд чисел задано виразом:
an = (n2 + n + 1) / (n + 2).
З'ясуємо перші п'ять складових цієї послідовності. Ними виявляються числа: 1; 7/4; 13/5; 21/6; 31/7. Можна продовжити цей ряд. І неважко зрозуміти, що будь-яке наступне число виявиться більше попереднього, а значення кожного з них буде наближатися до нескінченності. Вона-то і стане межею цієї послідовності.
Нижче представлений портрет Бернарда Больцано, який вніс великий внесок у дослідження множин та їх меж, автора наукової праці «Парадокси нескінченного».
Границя числового ряду
Послідовності типу, про яку говорилося вище, прийнято іменувати нескінченно великими. Це і означає, що межа їх дорівнює ?. Але числовий ряд, що задається зворотною формулою, тобто 1/an, в математиці називається нескінченно малою, тому що значення кожного з наступних чисел стають все менше, прагнучи до нуля.
Існують і інші типи послідовностей. Наприклад, ряд, заданий виразом an = 105 - 7n, наближається за значенням членів не до нуля, а до нескінченності, тільки негативною. І починаючи з n = 16, складові числового ряду знаходять мінусові значення, тому він не вважається зростаючим, як в першому випадку, і називається спаданням.
Ряд, який визначається виразом an = 1 / 2n, є нескінченно малою. Але в даному випадку послідовність, задана зворотною формулою, буде, навпаки, нескінченно великою.
Числові ряди можуть прагнути не тільки до 0 і ?, а до якогось певного числа. Можна вказати скільки завгодно таких послідовностей. Наприклад, межа an = 5n / (n + 1) дорівнює 5.
Можливо, що послідовність і зовсім не має межі, тоді її називають расходящейся. Поняття границі функції
З наведеного визначення нескладно зрозуміти, що аналогічно послідовності розглядається питання, а також коли справа стосується функцій. Хоча тут є свої особливості. Якщо аргумент (тобто значення змінної х) прагне до якогось певного числа або до нескінченності, то значення функції теж може прагнути до якоїсь певної величиною. І у випадку, коли така існує, вона-то і вважається межею. Але краще і зручніше розглянути цей процес наочно на графіку, тим самим з'ясувавши поняття границі функції та його геометричний зміст.
Цілком припустимі випадки, коли функція і зовсім не визначена в тій самій точці своєї межі, або її не є еквівалентним йому. Тим не менш межа все одно вважається існуючим і рівним А. Фантастичний приклад для роз'яснення
Розглянемо важливе питання: а чи може у функції в обраній точці бути дві межі? Ні, це ніяк неможливо. Якщо він існує, то обов'язково є єдиним.
По суті межа є якоюсь величиною, до якої прагне наблизитися функція. Значення її підходять до неї скільки завгодно неймовірно близько, але не в змозі цієї величини досягти, і постійно перебувають лише в якийсь "околиці" числа, що виражає її значення.
Для наочності пояснення поняття границі функції можна розглянути деяку фантастичну ситуацію. Припустимо, бігун, прагнучи досягти фінішу, за велінням всемогутнього чарівника постійно зменшується, тому робить все більш дрібні кроки (величина їх прагне до нуля). По причині такого чаклунства, все наполегливіше просуваючись до заповітної мети, цей рекордсмен, тим не менш, не стане переможцем, тому що не в змозі перетнути фінішну межу. Означення і властивості
Межі прийнято вказувати літерами lim. Стрілочка нижче їх дає уявлення про величину, до якої прагне аргумент. Праворуч від символу межі пишуть саму функцію. Далі звичайно треба знак рівності і вказується числове значення граничної величини. Такі позначення використовуються у всьому світі. Для з'ясування поняття границі функції властивості меж знати просто необхідно. Вони наведені нижче.
Такі властивості означають, що при складанні функцій, що мають границю для знаходження загального lim необхідно скласти межі кожної з них. Те ж саме стосується добутку і частки двох функцій. Останнє ж наведене властивість свідчить, що за знак границі можна винести спільний множник, що не порушує рівність у виразах з межами. Приклади
Розглянемо деякі задачі знаходження границі функції в точці та на нескінченності. Поняття, описані вище, тоді стануть набагато ясніше.
Межа в перших двох прикладах вважається рівним нескінченності через те, що при прагненні аргументу до вказаної величини знаменник в обох випадках перетворюється в щось нескінченно мале. А це означає, що сам вираз, навпаки, стає нескінченно великим. В цьому і полягає секрет вирішення подібних прикладів.
У третьому випадку межа дорівнює деякому певному числу. Якщо вирішувати завдання без всяких хитрощів, просто підставити замість х нескінченність, то сам вираз під знаком границі набере вигляду: (?/?). А це невизначеність. Зважаючи на це для вирішення подібних прикладів вдаються до поширеного прийому, розділивши обидві частини дробу на х. Таким чином величини 3/x 1/x в граничній точці стають настільки малі, що величини їх для отримання значення третього виразу стають не важливими. Тому у відповіді і виходить 2/5. Види невизначеностей
В останньому прикладі, розглянутому нами вище, знаходження межі виявилося утруднено через виявлену в процесі обчислень невизначеності. Подібні випадки особливо винятковими і не є рідкісними. При рішенні самих різних завдань можуть виникнути й інші види невизначеностей. Поняття границі функції допоможе навчитися виходити із таких ситуацій, тільки слід засвоїти деякі прийоми, які допомагають позбутися зазначених проблем.
А тепер розглянемо ще ряд аналогічних прикладів.
У першому випадку ніяких складнощів у знаходженні результату не виникає. Тут просто треба підставити граничне значення змінної х в сам вираз і отримати відповідь.
А ось у другому прикладі виявляється невизначеність вже розглянутого нами типу: (?/?). Для виходу зі складної ситуації скористаємося прийомом, схожим на вже нами застосований раніше. А саме поділимо у виразі чисельник і знаменник на х7. І тоді дріб прийме вид, при якому деякі члени вираження перетворяться в нескінченно малі величини, а з значущих чисел залишиться тільки 1/3. Воно і буде межею вихідної функції. Метод перетворення виразів
Продовжимо розглядати поняття границі функції.
У третьому і четвертому прикладах, наведених вище, якщо підставити придельное значення у верхню і нижню частину дробу, виникає невизначеність іншого роду (0/0). Як відомо, у математиці це неприпустимо. У таких ситуаціях можна застосувати метод перетворення виразів.
В завданні № 3 для початку чисельник розкладають як різницю квадратів. А потім, зробивши скорочення, підставляють у рівняння х=1. Таким чином і отримують відповідь. Як видно з прикладу, границя функції дорівнює 0.
Завдання № 4 трохи складніше. Тут дріб теж необхідно скоротити. Але для розкладання на множники чисельника і знаменника спочатку вирішують квадратні рівняння. Далі знаходяться корені, і проводиться розкладання на множники способом, як це зазвичай роблять у квадратних трехчленах. Тоді під знаком межі залишається тільки вираз: (x - 3) / (3x - 2). Тепер слід підставити значення змінної і дізнатися, що межа дорівнює 4. Безперервність
Пов'язуючи поняття меж і неперервність функції однієї змінної, відразу пояснимо деякі важливі моменти, уточнивши, що друге з цих математичних уявлень зазвичай визначається через перше.
У випадку, якщо всі тільки що зазначені умови виконуються, то можна стверджувати з повною впевненістю, що функція у певної, заздалегідь заданій точці є неперервною. Коли ж хоча б один з пунктів порушується, це означає, що лінія графіка в зазначеному місці переривається, тобто функція терпить розрив.
Аналогічним чином зв'язуються також поняття границі та неперервності функції двох змінних. Ідея межі
Розглянуте нами поняття, віднесених до математичного аналізу, по праву вважається одним з найбільш тонких у цій дисципліні. І хоча зазначена наука виникла відносно недавно, саму ідею межі використовував у своїх роботах ще великий житель давніх Сіракуз – Архімед. Для обчислення площ і обсягів складних геометричних форм він використовував так званий метод вичерпування. В окремих своїх роботах він виклав якусь аксіому безперервності, яка фактично містила в собі інтуїтивну ідею про межах.
Як відомо, в пізнанні математичних істин Архімед значно випередив свій час, хоча і до нього знаходилися великі уми, які висловлювали подібні міркування. Але цей геніальний філософ, інженер і вчений таким чином зумів обчислити площу круга і самих різних багатокутників, визначив обсяг конуса, піраміди, циліндра, призми, великої кількості інших фігур. Після смерті Архімеда ідеї великого грека вдосконалювались і розвивались більш двох тисячоліть, перш ніж перетворилися в теорію для обчислення диференціалів і інтегралів. Автор: Васильєва Марія Іванівна 13 Липня, 2018
Категория: Студентам