Ознаки подібності і рівності трикутників. Властивості подібних трикутників

Трикутник є найпростішою замкнутої фігурою на площині. При вивченні шкільного курсу геометрії розгляду його властивостей приділяють особливу увагу. У даній статті розкриємо питання ознак подібності і рівності трикутників. Які трикутники називаються подібними, а які рівними?

Логічно припустити, що дві розглянуті фігури будуть рівними між собою, якщо вони мають однакові кути і довжини сторін. Що стосується подібності, то тут справа йде трохи складніше. Два трикутника будуть подібні тоді, коли кожен кут дорівнюватиме відповідному куту іншого, а сторони, які лежать навпроти рівних кутів обох фігур, будуть пропорційні. Нижче зображено малюнок, на якому представлені два подібних трикутника.

Використовуючи цей малюнок, запишемо у вигляді математичних рівностей дане вище визначення: B = G, A = E, C = F, BA / GE = AC / EF = BC / GF = r, тут одна латинська літера означає кут, а дві літери - довжину сторони. Величина r має назву коефіцієнта подібності. Зрозуміло, що якщо r = 1, то мають місце не тільки подібні, але й рівні трикутники. Ознаки подібності

Говорячи про властивості і ознаки подібності і рівності трикутників, слід перерахувати три основних критерії, за якими можна визначити, є чи розглядаються фігури подібними чи ні.

Отже, дві постаті будуть подібними між собою, якщо виконується одна з наступних умов: Їх два кути рівні. Оскільки сума кутів трикутника еквівалентна 180o, то рівність перших двох з них автоматично означає, що однаковими будуть і треті. Використовуючи малюнок вище, ця ознака можна записати так: якщо B = G і A = E, то ABC і GEF є подібними. Якщо ж у цьому випадку будуть рівними хоча б по одній стороні обох фігур, тоді можна говорити про повну еквівалентність трикутників. Дві сторони пропорційні і кути між ними однакові. Наприклад, BA / GE = AC / EF і A = E, тоді GEF і ABC будуть подібними. Зауважимо, що кути A і E лежать між відповідними пропорційними сторонами. Всі три сторони взаємно пропорційні. Говорячи математичною мовою, отримуємо: BA / GE = AC / EF = BC / GF = r, тоді розглянуті фігури теж є подібними.

Відзначимо ще раз, що для доведення подібності досить привести який-небудь один з представлених ознак. Логічно, що всі інші будуть виконуватися також. Прямокутні трикутники: коли вони подібні, а коли рівні?

Говорячи про ознаки рівності та подібності прямокутних трикутників, слід відразу відзначити, що у кожного з них по одному кутку вже дорівнюють (90o).

Останній факт призводить до наступному формулюванні викладених вище критеріїв подібності: Якщо в двох прямокутних трикутниках дорівнює всього один кут, який не є прямим, то такі фігури подібні між собою. Якщо катети пропорційні між собою, тоді фігури теж будуть подібні, оскільки кут між катетами є прямим. Нарешті, пропорційності всього двох будь-яких сторін для обох прямокутних трикутників достатньо для доказу їх подібності. Причина цього полягає в тому, що сторони даних фігур пов'язані між собою теоремою Піфагора, тому пропорційність 2-х з них призводить до пропорційності з аналогічним коефіцієнтом подібності і для третіх сторін.

Що стосується рівності трикутників з прямими кутами, то тут просто запам'ятати: якщо два будь-якого елемента (прямий кут не вважається) обох фігур рівні, то рівні і самі фігури. Наприклад, цими двома елементами можуть бути гострий кут і катет, катет і гіпотенуза або гіпотенуза і гострий кут. Властивості подібних трикутників

З розглянутих ознак подібності і рівності трикутників властивості можна виділити такі: Периметри цих фігур відносяться один до одного як коефіцієнт подібності, тобто P1 / P2 = r, де P1 і P2 - периметри 1-го і 2-го трикутників, відповідно. Площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності, тобто: S1 / S2 = r2, де S1 і S2 - площі 1-го і 2-го трикутників, відповідно.

Обидва ці властивості можна довести самостійно. Суть докази зводиться до застосування математичної записи подібності між сторонами фігур. Тут наведемо лише доказ 1-го властивості.

Нехай a, b, c - довжини сторін одного трикутника і a', b', c' - другого боку. Оскільки фігури подібні, то можна записати: a = r * a', b = r * b', c = r * c'. Тепер підставимо ці вирази щодо їх периметрів, отримаємо: P1 / P2 = (a + b + c) / (a' + b' + c') = (r * a' + r * b' + r*c') / (a' + b' + c') = r(a' + b' + c') / (a' + b' + c') = r. Приклад розв'язання задачі

Ознаки подібності і рівності трикутників можна використовувати для рішення різних геометричних задач. Нижче наводиться один із прикладів.

Є два трикутника. У одного з них сторони рівні 7,6 см, 4,18 см і 6,65 см, а в іншого 3,5 см, 2,2 см і 4 див. Необхідно визначити, подібні фігури.

Оскільки дані значення трьох сторін, то можна відразу перевірити 3-й критерій подібності. Складність тут полягає в тому, що потрібно зрозуміти, між якими сторонами брати відносини. Тут слід скористатися простими логічними міркуваннями: коефіцієнти подібності можуть бути рівними, якщо ділити найменшу сторону одного трикутника на аналогічну для іншого і так далі. Тому маємо: 4,18 / 2,2 = 1,9; 6,65 / 3,5 = 1,9; 7,6 / 4 = 1,9. Перевіривши відношення всіх сторін, можна з упевненістю сказати, що трикутники є подібними, оскільки виконується 3-й критерій. Автор: Валерій Савельєв 22 Вересня, 2018

Категория: Студентам