Як знайти різницю арифметичної прогресії
Опубликованно 19.10.2018 00:48
Тема "арифметична прогресія" вивчається в загальному курсі алгебри у школі в 9 класі. Ця тема є важливою для подальшого поглибленого вивчення математики числових рядів. У даній статті познайомимося з арифметичною прогресією, її різницею, а також з типовими завданнями, з якими можуть зіткнутися школярі. Поняття про прогресії алгебраїчної
Числова прогресія являє собою послідовність чисел, в якій кожний наступний елемент можна отримати з попереднього, якщо застосувати деякий математичний закон. Відомо два простих види прогресії: геометрична та арифметична, яку називають також алгебраїчної. Зупинимося на ній детальніше.
Уявімо собі деяке раціональне число, позначимо його символом a1, де індекс вказує його порядковий номер у розглянутому ряду. Додамо до a1 деяке інше число, позначимо його d. Тоді другий елемент ряду можна відобразити наступним чином: a2 = a1+d. Тепер додамо d ще раз, отримаємо: a3 = a2+d. Продовжуючи цю математичну операцію, можна отримати цілий ряд чисел, який буде називатися арифметичною прогресією.
Як можна зрозуміти з викладеного вище, щоб знайти n-ий елемент цієї послідовності, необхідно скористатися формулою: an = a1 + (n-1)*d. Дійсно, підставляючи n=1 вираз, ми отримаємо a1 = a1, якщо n = 2, тоді з формули слід: a2 = a1 + 1*d, і так далі.
Наприклад, якщо різниця арифметичної прогресії дорівнює 5, а a1 = 1, то це означає, що числовий ряд розглянутого типу має вигляд: 1, 6, 11, 16, 21, ... Як видно, кожен його член більший від попереднього на 5. Формули різниці арифметичної прогресії
З наведеного вище визначення розглянутого ряду чисел випливає, що для його визначення необхідно знати два числа: a1 і d. Останнє називається різницею цієї прогресії. Воно однозначно визначає поведінку всього ряду. Дійсно, якщо d буде позитивним, то числовий ряд буде постійно зростати, навпаки, у випадку d негативного, буде відбуватися зростання чисел у рядку лише по модулю, абсолютна ж їх значення буде зменшуватися з ростом номера n.
Чому дорівнює різниця арифметичної прогресії? Розглянемо дві основні формули, які використовуються для обчислення цієї величини: d = an+1-an, ця формула випливає безпосередньо з визначення розглянутого ряду чисел. d = (-a1+an)/(n-1), цей вираз виходить, якщо висловити d з формули, наведеної у попередньому пункті статті. Зауважимо, що цей вираз звертається до невизначеність (0/0), якщо n=1. Пов'язано це з тим, що необхідно знання як мінімум 2-х елементів ряду, щоб визначити його різниця.
Ці дві основні формули використовуються для вирішення будь-яких задач на знаходження різниці прогресії. Однак існує ще одна формула, про яку також необхідно знати. Сума перших елементів
Формула, за допомогою якої можна визначити суму будь-якої кількості членів прогресії алгебраїчної, згідно з історичними свідченнями, була вперше отримана "принцом" математики XVIII століття Карлом Гауссом. Німецький учений, ще будучи хлопчиком в початкових класах сільської школи, зауважив, що для того, щоб скласти натуральні числа в ряду від 1 до 100, спочатку необхідно підсумувати перший елемент і останній (отримане значення буде дорівнює сумі передостаннього і другого, предпредпоследнего і третього елементів, і так далі), а потім це число треба помножити на кількість цих сум, тобто на 50.
Формулу, яка відображає викладений результат на приватному прикладі, можна узагальнити на довільний випадок. Вона буде мати вигляд: Sn = n/2*(an+a1). Зауважимо, що для знаходження зазначеної величини, знання різниці d не вимагається, якщо відомі два члена прогресії (an і a1). Приклад №1. Визначте різницю, знаючи два члена ряду a1 an
Покажемо, як застосовувати зазначені вище в статті формули. Наведемо простий приклад: різниця арифметичної прогресії невідома, необхідно визначити, чому вона буде дорівнювати, якщо a13 = -5,6 і a1 = -12,1.
Оскільки нам відомі значення двох елементів числової послідовності, при цьому один з них є першим числом, то можна скористатися формулою №2 для визначення різниці d. Маємо: d =(-1*(-12,1)+(-5,6) )/12 = 0,54167. У виразі ми використовували значення n=13, оскільки відомий член саме з цим порядковим номером.
Отримана різниця свідчить про те, що прогресія є зростаючою, незважаючи на те, що дані в умові задачі елементи мають від'ємне значення. Видно, що a13>a1, хоча |a13|<|a1|.
Приклад №2. Позитивні члени прогресії в прикладі №1
Скористаємося отриманими в попередньому прикладі результатом, щоб вирішити нове завдання. Вона формулюється наступним чином: з якого порядкового номера елементи прогресії в прикладі №1 почнуть приймати позитивні значення?
Як було показано, прогресія, в якій a1 = -12,1 і d = 0,54167 є зростаючою, тому з деякого номера числа почнуть приймати тільки позитивні значення. Щоб визначити номер n, необхідно вирішити просте нерівність, яка математично записується так: an>0 або, використовуючи відповідну формулу, перепишемо нерівність: a1 + (n-1)*d>0. Необхідно знайти невідоме n, виразимо його: n>-1*a1/d + 1. Тепер залишилося підставити відомі значення різниці і першого члена послідовності. Отримуємо: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 або n>23,338. Оскільки n може приймати тільки цілочисельні значення, отриманого нерівності випливає, що будь-які члени ряду, які будуть мати номер більше ніж 23, будуть позитивними.
Перевіримо отриманий відповідь, скориставшись наведеною вище формулою, щоб розрахувати 23 і 24 елементи цієї арифметичної прогресії. Маємо: a23=-12,1 + 22*0,54167 = -0,18326 (від'ємне число); a24=-12,1 + 23*0,54167 =0,3584 (позитивне значення). Таким чином, отриманий результат є правильним: починаючи з n=24 всі члени числового ряду будуть більше нуля. Приклад №3. Скільки колод поміститься?
Наведемо одну цікаву задачу: під час заготівлі лісу було вирішено спиляні колоди укладати один на одного так, як це показано на малюнку нижче. Скільки колод можна укласти таким чином, знаючи, що все поміститься 10 рядів?
У такому способі складання колод можна помітити одну цікаву річ: кожен наступний ряд буде містити на одну колоду менше, ніж попередній, тобто має місце прогресія алгебраїчна різниця якої d=1. Вважаючи, що число колод кожного ряду - це член цієї прогресії, а також враховуючи, що a1 = 1 (на самому верху поміститься тільки одна колода), знайдемо число a10. Маємо: a10 = 1 + 1*(10-1) = 10. Тобто в 10-му ряду, який лежить на землі, буде перебувати 10 колод.
Загальну суму цієї "пірамідальної" конструкції можна отримати, якщо скористатися формулою Гаусса. Отримуємо: S10 = 10/2*(10+1) = 55 колод. Автор: Валерій Савельєв 22 Вересня, 2018
Категория: Студентам