Куди спрямований вектор імпульсу тіла? Чому сонаправлен вектор імпульсу тіла?
Опубликованно 27.10.2018 03:16
Будь-які завдання на рухомі тіла в класичній механіці вимагають знання концепції імпульсу. У даній статті розглядається ця концепція, дається відповідь на питання, куди спрямований вектор імпульсу тіла, а також наводиться приклад розв'язання задачі. Кількість руху
Щоб з'ясувати, куди спрямований вектор імпульсу тіла, слід, в першу чергу, зрозуміти його фізичний зміст. Вперше термін був пояснений Ісааком Ньютоном, однак важливо відзначити, що італійський учений Галілео Галілей у своїх роботах використовував схоже поняття. Для характеристики об'єкта, що рухається він ввів величину, яка називалася прагнення, натиск або власне імпульс " (impeto на італійському). Заслуга ж Ісаака Ньютона полягає в тому, що він зміг пов'язати цю характеристику з діючими на тіло силами.
Отже, спочатку і більш правильно те, що більшість розуміють під імпульсом тіла, називати кількістю руху. Дійсно, математична формула для розглянутої величини пишеться у вигляді:
p = m * v.
Тут m - маса тіла, v - його швидкість. Як видно з формули, ні про яке імпульсі не йдеться, є лише швидкість тіла та його маса, тобто кількість руху.
Важливо зазначити, що ця формула не випливає з математичних доказів або виразів. Її виникнення у фізиці має виключно інтуїтивний, побутовий характер. Так, будь-яка людина добре уявляє, що якщо муха і вантажівка будуть рухатися з однаковою швидкістю, то вантажівка зупинити набагато важче, оскільки він володіє набагато більшою кількістю руху, ніж комаха.
Звідки виникло поняття вектор імпульсу тіла, розглянуто далі. Імпульс сили - причина зміни кількості руху
Інтуїтивно введену характеристику Ньютон зміг пов'язати з другим законом, який носить його прізвище.
Імпульс сили - це відома фізична величина, яка дорівнює добутку прикладеної зовнішньої сили до деякого тіла на час її дії. Скориставшись відомим законом Ньютона і вважаючи, що сила від часу не залежить, можна прийти до вираженню:
F * T = m * a * T.
Тут T - час дії сили F, a - це лінійне прискорення, повідомили силою F тілу масою m. Як відомо, множення прискорення тіла на проміжок часу, який воно діє, дає приріст швидкості. Цей факт дозволяє переписати формулу вище в дещо іншому вигляді:
F * T = m * ?v, де ?v= a * T.
Права частина рівності являє собою зміну кількості руху (див. вираз у попередньому пункті). Тоді вийде:
F * T = ?p, де ?p = m * ?v.
Таким чином, користуючись законом Ньютона і поняттям про імпульсі сили, можна прийти до важливого висновку: вплив зовнішньої сили на об'єкт протягом деякого часу призводить до зміни його кількості руху.
Тепер стає зрозумілим, чому кількість руху прийнято називати імпульсом, адже його зміна збігається з імпульсом сили (слово "сила", як правило, опускають). Векторна величина p
Над деякими величинами (F, v, a, p) варто риса. Це означає, що мова йде про векторної характеристиці. Тобто кількість руху так само, як і швидкість, сила і прискорення, крім абсолютної величини (модуля), описується ще напрямком.
Так як кожен вектор можна розкласти на окремі компоненти, то, користуючись декартової прямокутної системи координат, можна записати такі рівності:
1) p = m * v;
2) px = m * vx; py = m * vy; pz = m * vz;
3) |p| = ?(px2 + py2 + pz2).
Тут 1-е вираз - це векторна форма подання кількості руху, 2-й набір формул дозволяє розрахувати кожну з компонентів імпульсу p, знаючи відповідні компоненти швидкості (індекси x, y, z говорять про проекції вектора на відповідну вісь координат). Нарешті, 3-я формула дозволяє обчислити довжину вектора імпульсу (абсолютне значення величини) через його компоненти. Куди спрямований вектор імпульсу тіла?
Розглянувши поняття кількості руху p та його основні властивості, можна легко відповісти на поставлене питання. Вектор імпульсу тіла направлений так само, як і вектор лінійної швидкості. Дійсно, з математики відомо, що множення вектора a на число k призводить до утворення нового вектора b, що володіє наступними властивостями: його довжина дорівнює добутку числа на модуль вихідного вектора, тобто |b| = k * |a|; він направлений так само, як вихідний вектор, якщо k > 0, в іншому випадку він буде направлений протилежно a.
В даному випадку роль вектора a грає швидкість v, імпульс p - це новий вектор b, а число k - це маса тіла m. Оскільки остання завжди є позитивною (m>0), то, відповідаючи на питання: чому сонаправлен вектор імпульсу тіла p, слід сказати, що він сонаправлен швидкості v. Вектор зміни кількості руху
Цікаво розглянути ще один схожий питання: куди спрямований вектор зміни імпульсу тіла, тобто ?p. Для відповіді на нього варто використовувати отриману вище формулу:
F * T = m * ?v = ?p.
Виходячи з міркувань у попередньому пункті, можна сказати, що напрямок зміни кількості руху ?p збігається з напрямком вектора сили F (T > 0) або з напрямком вектора зміни швидкості ?v (m > 0).
Тут важливо не плутати, що мова йде саме про зміну величин. У загальному випадку вектори p і ?p не збігаються, оскільки вони ніяк не пов'язані один з одним. Наприклад, якщо сила F буде діяти проти швидкості v переміщення об'єкта, тоді p і ?p будуть спрямовані в протилежні сторони. Де важливо враховувати векторний характер кількості руху?
Розглянуті вище питання: куди спрямований вектор імпульсу тіла і вектор його зміни, зумовлені не простою цікавістю. Справа в тому, що закон збереження імпульсу p виконується для кожної його компоненти. Тобто у найбільш повній формі він записується так:
px = m * vx; py = m * vy; pz = m * vz.
Кожна компонента вектора p зберігає своє значення в системі взаємодіючих об'єктів, на які не діють зовнішні сили (?p = 0).
Як користуватися цим законом та векторними уявленнями величини p, щоб вирішувати завдання на взаємодія (зіткнення) тел? Завдання з двома кулями
На малюнку зображені два кулі різної маси, які летять під різними кутами до горизонтальної лінії. Нехай маси куль дорівнюють m1 = 1 кг, m2 = 0,5 кг, їх швидкості v1= 2 м/с, v2= 3 м/с. Необхідно визначити напрям імпульсу після удару куль, вважаючи останній абсолютно непружним.
Починаючи вирішувати завдання, слід записати закон незмінності кількості руху у векторній формі, тобто:
p1 + p2 = const.
Оскільки кожна компонента імпульсу повинна зберігатися, то потрібно переписати вираз, враховуючи також, що після зіткнення два кулі почнуть рухатися, як єдиний об'єкт (абсолютно непружний удар):
m1 * v1x + m2 * v2x = (m1 + m2) * ux;
-m1 * v1y + m2 * v2y = (m1 + m2) * uy.
Знак мінус для проекції імпульсу першого тіла на вісь y з'явився внаслідок її спрямованості проти обраного вектора осі ординат (див. рис.).
Тепер потрібно висловити невідомі компоненти швидкості u, а потім підставити відомі значення у вирази (відповідні проекції швидкостей визначаються множенням модулів векторів v1 і v2 на тригонометричні функції):
ux = (m1 * v1x + m2 * v2x) / (m1 + m2), v1x = v1 * cos(45o); v2 = v2 * cos(30o);
ux = (1 * 2 * 0,7071 + 0,5 * 3 * 0,866) / (1 + 0,5) = 1,8088 м/с;
uy = (-m1 * v1y + m2 * v2y) / (m1 + m2), v1y = v1 * sin(45o); v2y = v2 * sin(30o);
uy = (-1 * 2 * 0,7071 + 0,5 * 3 * 0,5) / (1 + 0,5) = -0,4428 м/с.
Це дві компоненти швидкості тіла після удару і "злипання" куль. Оскільки напрям швидкості збігається з вектором імпульсу p, то відповісти на питання задачі можна, якщо визначити u. Кут його відносно горизонтальної осі буде дорівнювати арктангенсу відносини компонент uy і ux:
? = arctg(-0,4428 / 1,8088) = -13,756o.
Знак мінус вказує, що імпульс (швидкість) після удару буде направлений вниз від осі x. Автор: Валерій Савельєв 13 Жовтня, 2018
Категория: Студентам