Як знайти суму арифметичної прогресії: формули і приклад їх використання
Опубликованно 11.11.2018 07:14
Прогресія алгебраїчна або арифметична - це вид впорядкованої числової послідовності, властивості якої вивчають в шкільному курсі алгебри. У цій статті докладно розглянуто питання, як знайти суму арифметичної прогресії. Що це за прогресія?
Перш ніж переходити до розгляду питання (як знайти суму арифметичної прогресії), варто зрозуміти, про що піде мова.
Будь-яка послідовність дійсних чисел, яка виходить шляхом додавання (віднімання) деякого значення з кожного попереднього числа, називається алгебраїчної (арифметичної) прогресією. Це визначення в перекладі на мову математики приймає форму:
ai = ai-1 + d.
Тут i - порядковий номер елемента ряду ai. Таким чином, знаючи лише одне початкове число, можна з легкістю відновити весь ряд. Параметр d у формулі називається різницею прогресії.
Можна легко показати, що для розглянутого ряду чисел виконується наступна рівність:
an = a1 + d * (n - 1).
Тобто для знаходження значення n-го порядку елемента n-1 раз додати різниця d до першого елементу a1.
Чому дорівнює сума арифметичної прогресії: формула
Перш ніж наводити формулу для зазначеної суми, варто розглянути простий приватний випадок. Дана прогресія натуральних чисел від 1 до 10, необхідно знайти їх суму. Оскільки членів прогресії небагато (10), то можна вирішити завдання в лоб, тобто підсумувати всі елементи по порядку.
S10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Варто врахувати одну цікаву річ: оскільки кожен член відрізняється від подальшого на одне і те ж значення d = 1, то попарне підсумовування першого з десятим, другого з дев'ятим і так далі дасть однаковий результат. Дійсно:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Як видно, цих сум всього 5, тобто рівно в два рази менше, ніж кількість елементів ряду. Тоді множачи число сум (5) на результат кожної суми (11), ви прийдете до отриманого у першому прикладі результату.
Якщо узагальнити ці міркування, то можна записати наступний вираз:
Sn = n * (a1 + an) / 2.
Цей вираз показує, що зовсім не обов'язково підсумувати поспіль всі елементи, достатньо знати значення першого a1 і останнього an, а також загального числа доданків n.
Вважається, що вперше до цієї рівності додумався Гаусс, коли шукав рішення на задану його вчителем завдання: підсумувати перших 100 цілих чисел.
Сума елементів від m до n: формула
Формула, наведена в попередньому пункті, дає відповідь на питання, як знайти суму арифметичної прогресії (перших елементів), але часто в задачах необхідно підсумувати ряд чисел, що стоять в середині прогресії. Як це зробити?
Відповісти на це питання простіше всього, розглядаючи наступний приклад: нехай необхідно знайти суму членів від m-го до n-го. Для розв'язання задачі слід представити заданий відрізок від m до n прогресії у вигляді нового числового ряду. У такому поданні m-й член am буде першим, а an стане під номер n-(m-1). У цьому випадку, застосовуючи стандартну формулу для суми, вийде наступне вираз:
Smn = (n - m + 1) * (am + an) / 2. Приклад використання формул
Знаючи, як знайти суму арифметичної прогресії, варто розглянути простий приклад використання наведених формул.
Нижче дана числова послідовність, слід знайти суму її членів, починаючи з 5-го і закінчуючи 12-м:
-4, -1, 2, 5, ...
Наведені числа свідчать, що різниця d дорівнює 3. Використовуючи вираз для n-го елемента, можна знайти значення 5-го і 12-го членів прогресії. Виходить:
a5 = a1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a12 = a1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
Знаючи значення чисел, що стоять на кінцях розглянутої алгебраїчної прогресії, а також знаючи, які номери в ряді вони займають, можна скористатися формулою для суми, отриманої в попередньому пункті. Вийде:
S512 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Варто відзначити, що це значення можна було отримати інакше: спочатку знайти суму перших 12 елементів по стандартній формулі, потім обчислити суму перших 4 елементів по тій же формулі, після цього відняти з першої суми другу. Автор: Валерій Савельєв 18 Жовтня, 2018
Категория: Студентам