Момент інерції маятника: визначення, особливості та формула
Опубликованно 21.11.2018 01:34
При вирішенні рівняння обертального або коливального (осциллируючих) руху необхідно знати момент інерції розглянутої системи. Дана стаття присвячена вивченню різного роду маятників і моменту інерції, яким вони характеризуються. Поняття про маятнику. Види
Перед тим як приводити визначення моменту інерції маятника, необхідно розглянути, що собою являє цей прилад. У фізиці під ним розуміють абсолютно будь-яку систему, яка може здійснювати коливання або обертання навколо деякої точки або осі під дією гравітаційного поля, тобто сили тяжіння. Це визначення припускає, що маятник в обов'язковому порядку повинен володіти кінцевою масою, при цьому центр мас системи не повинен знаходитися в точці, через яку проходить вісь обертання.
Існують різні види маятників. У цій статті розглянемо тільки 3 з них: математичний, або простий; фізичний (на прикладі однорідного стрижня); маятник Обербека.
Перші два є маятниками коливального типу, третій - обертального. Обертання і момент інерції
Коли тіло з певною масою починає обертатися навколо осі, то його рух прийнято описувати наступним рівнянням:
M = I*?.
Тут M - це сумарний, або результуючий момент всіх зовнішніх сил, які діють на систему, І - її момент інерції і ? - кутове прискорення.
Момент сили M за визначенням - це величина, що дорівнює добутку діючої сили на плече, яка дорівнює відстані від точки прикладеної сили до осі обертання.
Момент інерції - величина, що характеризує інерційні властивості системи, тобто наскільки швидко її можна розкрутити, докладаючи деякий момент M. Також I характеризує запасену обертається системою кінетичну енергію. Момент інерції I для матеріальної точки (уявний об'єкт, маса якого зосереджена в нескінченно малому обсязі простору), що здійснює круговий рух на відстані від осі r можна обчислити за наступною формулою:
I = m*r2.
У загальному випадку при визначенні I для тіла довільної форми слід користуватися такими виразами:
1) I = ?mi*ri2.
2) I = ?dm *ri2 = ?*?dV *ri2.
Перше рівність застосовується при дискретному розташуванні мас у системі, друге - при безперервному.
З цих виразів видно, що I є функцією відстані до осі обертання і розподілу маси в системі відносно цієї осі і не залежить ні від прикладених моментів сил M, ні від швидкості обертання ?. Математичний (простий) маятник
Оскільки цей вид коливальної системи є найпростішим, то розглянемо його детальніше. Математичний Маятник являє собою матеріальну точку, яка підвішена на невагомою і нерозтяжній нитці. Якщо цю точку злегка відхилити від положення рівноваги, а потім відпустити, то вона почне здійснювати коливання. Також передбачається, що не існує сил тертя в точці закріплення нитки, і нехтуючи опором повітря.
Як зрозуміло з опису вище, математичний маятник являє собою ідеальний випадок, який не реалізується на практиці. Тим не менш його вивчення дозволяє отримати деякі важливі висновки для розглянутого типу руху.
Нижче на малюнку представлений цей маятник, а також позначені діють у системі сили при його коливання.
Застосовуючи до нього рівняння руху, отримуємо наступне рівняння:
M = -m*g*sin(?)*L; I = m*L2; ? = d2?/dt2 =>
=> -m*g*sin(?)*L = m*L2*d2?/dt2, звідки:
L *d2?/dt2 + g*sin(?) = 0.
Пояснимо деякі моменти: момент від сили натягу нитки T (див. рис.) дорівнює нулю, оскільки вона діє безпосередньо на вісь; момент від сили тяжіння узятий зі знаком мінус, оскільки він спрямований за годинниковою стрілкою; L - довжина нитки; кутове прискорення ? за визначенням є другою похідною від кута повороту за часом або першої похідної по часу від кутової швидкості ?; формула моменту інерції маятника цього типу збігається з такою для матеріальної точки з масою m, що знаходиться від осі обертання на відстані L.
Отримане вище вираз можна спростити, якщо прийняти наближення: sin(?)??. Воно справедливо, коли кути коливання є невеликими (до ?=10o помилка не перевищує 0,5 %). В цьому випадку отримуємо:
L*d2?/dt2 + g*? = 0.
Ми отримали класичне диференціальне рівняння (диф. ур.) другого порядку. Його рішенням є функція синуса:
? = A*sin(?*t+?0).
Тут A і ?0 - амплітуда коливань і початковий кут відхилення від рівноваги, відповідно. Якщо цей розв'язок підставити в диф. ур. вище, то можна отримати кутову швидкість і період коливань:
? = ?(g/L) і T = 2*pi/? = 2*pi*?(L/g).
Ми отримали дивовижний результат: період коливань математичного маятника не залежить від початкових умов (A і ?0), а також від маси m.
Поведінка математичного маятника вперше почав вивчати Галілей. Згодом Гюйгенс показав можливість використання отриманої формули для визначення прискорення вільного падіння Землі.
Фізичний маятник загального типу
Цей прилад являє собою тверде тіло довільної форми (його маса може бути нерівномірно розподілена по його об'єму), яке здійснює коливання відносно горизонтальної осі, що не проходить через центр мас тіла.
При вирішенні рівняння руху цього приладу розглядають ідеальний об'єкт, маса якого зосереджена в його центрі тяжкості. Таке припущення приводить до наступної формули для періоду його коливання:
T = 2*pi*?(Io/(m*g*h)).
Тут h - відстань від центру ваги до осі обертання O Io - момент інерції фізичного маятника. Зауважимо, що якщо для розрахунку моменту сили тяжіння можна скористатися властивістю адитивності цієї величини і звести суму всіх моментів до одного, що додається до центру тяжіння, то для обчислення моменту інерції Io так чинити не можна, його слід розраховувати з використанням загальних формул, які були наведені раніше. Коливний стрижень і його момент інерції
Уявімо собі, що є твердий стрижень масою m і довжиною L, який підвішений до одного з кінців вертикально. Ця конструкція здатна здійснювати коливання під дією земного тяжіння.
Якщо застосувати інтегрування відносно осі до такого стрижня, то можна отримати, що момент інерції фізичного маятника зазначеної конструкції буде дорівнює:
Io = m*L2/3.
Тоді його період коливань буде дорівнювати:
T = 2*pi*?(2*L /(3*g)). Маятник Обербека
На малюнку нижче наведений цей вид маятника.
З малюнка видно, якщо підвісити вантаж до нитки, то 4 стрижня з вантажами починають обертатися з деяким кутовим прискоренням.
Маятник Обербека використовується для проведення лабораторних робіт з фізики з метою перевірки рівняння обертального руху. Визначення моменту інерції маятника Обербека
Для вирішення цієї задачі необхідно зробити важливе наближення: вага стрижнів і дисків, до яких підвішується на нитці перевантажень, є мізерним у порівнянні з вагою одного вантажу m. Враховуючи, що розмір вантажів набагато менше їх відстані до осі обертання, можна скористатися формулою для моменту інерції матеріальної точки. Оскільки вантажів 4 і всі вони мають однакову масу, але розташовані на різних відстанях від осі, то отримуємо наступну формулу для моменту інерції маятника Обербека:
I = I1+I2+I3+I4 = m*(R12+R22+R32+R42 ).
Оскільки цей маятник дозволяє регулювати положення кожного вантажу на стрижні, то його момент інерції може змінюватися. Автор: Валерій Савельєв 6 Жовтня, 2018
Категория: Студентам