Вектор прямой: определение и примеры
Опубликованно 19.01.2019 02:08
Важный геометрический объект, который учиться в плоском пространстве, представляет собой прямую. В трехмерном пространстве, помимо прямого, появляется еще один уровень. Оба объекта удобно поместить с направляющих векторов. Что это такое, как применять эти вектора для определения уравнения прямой и плоскости? Эти и другие вопросы в статье освещены. Прямых и их установка
Каждый ученик-это хорошо, какой геометрический объект. С точки зрения математики, просто ряд моментов, которые приводят в случае их Opera произвольного соединения между собой совокупность параллельных векторов. Это определение прямой выгоды для записи уравнений для них, как и в двухмерном и в трехмерном пространстве.
Для описания рассматриваемого одномерного объекта наслаждайтесь различные типы уравнений, которые перечислены в следующем списке: Общие Представления; параметрические; Вектор; канонический или симметрично; в отрезках.
Каждый из названных видов имеет некоторые преимущества по сравнению с другими. Например, уравнение в отрезках полезен при изучении поведения прямой относительно осей координат, уравнение общего вида удобно при направлении перпендикулярно заданной прямой линии, а также при расчете угла пересечения с осью x (для плоского случая).
Так как тема данной статьи связана с вектор прямой, тогда мы будем рассматривать только уравнения, где этот вектор содержит принципиальные и однозначно, т. е. вектор выражения. Задание прямой, проходящей через вектор
Предположим, что у нас есть определенный вектор v с известными координатами (a; b; c). Поскольку координаты из трех, задать вектор в пространстве. Как его в декартовой системе координат? Делается это довольно просто: на каждой из трех осей трассы, длина которой соответствующей координате вектора откладывается. Точка пересечения трех перпендикуляров, восстановленных к плоскости xy, yz и xz, то в конце хода. Начало это точка (0; 0; 0).
Однако позиция вектора не является единственным. Так же вы можете v рисовать, с своим началом в любой точке пространства. Эти рассуждения что специальная прямыми с помощью векторов не говорят. Он определяет семью из бесконечного числа параллельных прямых.
Теперь прикрепите к определенной точке P(x0; y0; z0)- пространстве. И мы теперь должен ставить условие: P вспомогательной линии проходят. В этом случае вектор v должен будет содержать эту точку. Последний факт означает, что вы можете один раз, с P и V. они будут в виде следующего уравнения:
Q = P + ? ? v
Здесь Q - любая точка, принадлежащая прямой. Эту точку можно получить, выбрав соответствующий параметр ?. Записанное уравнение называют векторы, и v имеет звание лидера вектор прямой. Поставив их так, чтобы он прошел через P, и изменить его длину с параметром ? получаем каждую точку Q прямой.
В координатной форме уравнение будет таким:
(x; y; z) = (x0; y0; z0) + ? ? (a; b; c)
И в явном (Parameters) форме можно записать:
x = x0 + ? ? a;
y = y0 + ? ? b;
z = z0 + ? ? c
Если в приведенных выше выражениях третья координата, исключить получаем векторное уравнение прямой на плоскости. Чтобы узнать для каких задач полезна вектор,?
Как правило, это задачи на определение параллельности и перпендикулярности прямых. Также определение направления прямой вектор будет при расчете расстояния между прямой и точкой и прямой, для описания поведения одной прямой относительно плоскости.
Две прямые будут параллельными, если те являются их направляющие вектора. Соответственно, перпендикулярность прямых доказывается с помощью перпендикулярности их векторов. В эти типы проблем, достаточно вычислить скалярное произведение векторов рассматриваемых векторов, чтобы получить ответ.
В случае задачи на вычисление расстояний между прямыми и точками вектор однозначно входит в соответствующую формулу. Запишем ее:
d = |[P1P2 ? v] | / |v|
Здесь P1P2 - построенный на точках P1 и P2 в разрезе. Точка P2 - это произвольная программа, лежащей на прямой с вектором v, ту же точку P1 , до которой можно определить расстояние. Это может быть как самостоятельное и принадлежат к другой прямой или плоскостью.
Отметим, что расстояние между прямыми вычислить смысл только в том случае, если они являются параллельными или скрещивающимися. Если они пересекаются, тогда d равен нулю.
Формула для d применяется для расчета расстояния между плоскостью и параллельной ей прямой, только в этом случае P1 уровня должны быть частью.
Решить несколько задач, чтобы показать, как лучше вектора. Задача для создания векторных уравнения
Известно, что как раз описывает следующее равенство:
y = 3 ? x - 4
Должны иметь соответствующее выражение в векторной форме.
Это типичное уравнение прямой известно, что каждый студент, записана в общей форме. Мы покажем переопределяются, как это в векторной форме.
Выражение может быть представлено:
(x; y) = (x; 3 ? x - 4)
Видя, что при его открытии, вы получаете первоначальное равенство. Сейчас вы разделить правую часть на два вектора, так что только один из них содержал x, имеем:
(x; y) = (x; 3 ? х) + (0; -4)
Остается х вынести за скобки, обозначьте их греческий знак и поменять местами вектора правой части:
(x; y) = (0; -4) + ? ? (1; 3)
Мы имеем векторную форму записи исходного выражения. Координаты лидеров вектор прямой равен (1; 3). Задачи на определение взаимного расположения прямых
В пространстве две прямые заданы:
(x; y; z) = (1; 0; -2) + ? ? (-1; 3; 1);
(x; y; z) = (3; 2; 2) + ? ? (1; 2; 0)
Они являются параллельными, скрещивающимися или пересекающимися?
Вектора не равны нулю (-1; 3; 1) и (1; 2; 0) направляющие планки для этой прямой. Нажимаем подставим в параметрической форме это уравнение и координаты первого во второе. Получить:
x = 1 - ?;
y = 3 ? ?;
z = -2 + ?;
-------------
x = 3 + ? = 1 - ? => ? = -2 - ?;
y = 2 + 2 ? ? = 3 ? ? => ? = 3 / 2 ? ? - 1;
z = 2 = -2 + ? => ? = 4
Подставляем найденные параметр ? в два выше уравнений получим:
? = -2 - ? = -6;
? = 3 / 2 ? ? - 1 = 5
Параметр ? не может быть одновременно два различных значения. Это означает, что прямые не имеют общих точек, т. е. являются скрещивающимися. Параллельно они не являются, поскольку не нулевые векторы не параллельны друг другу (для их параллельности число, которое вело путем умножения вектора с координатами второго надо). Математическое описание уровня
Для задания плоскости в пространстве, представляем уравнение в общем виде:
A ? x + B ? y + C ? z + D = 0
Здесь большие латинские буквы определенное количество. Первые три из них определяют координаты нормального вектора плоскости. Если обозначить n, то:
n = (A; B; C)
Этот вектор перпендикулярно плоскости, поэтому его называют разговорник. Его знания, а также известные координаты определенной точки, принадлежащей плоскости однозначно последний вопросы.
Если точка P(x1; y1; z1) принадлежит плоскости, то свободный член D рассчитывается следующим образом:
D = -1 ? (A ? x1 + B ? y1 + C ? z1)
Решить несколько задач с помощью общего уравнения плоскости. Задача на поиск нормального вектора плоскости
Уровень в следующей форме указано:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4 = 1
Как мне найти вектор для вас?
Из приведенной выше теории следует, что координаты вектора нормали n-коэффициенты, стоящие перед переменными. В этой связи для нахождения n запишите уравнение в общем виде. Имеем:
1 / 3 ? x + 1 / 2 ? y - 1 / 4 ? z - 13 / 6 = 0
Тогда нормальный вектор плоскости равен:
n = (1/3; 1/2; -1/4) Задача составления уравнения плоскости
Координаты даны три точки:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Как выглядит уравнение плоскости, которая все эти моменты.
Через три точки, принадлежащие одной прямой, может быть только один уровень. Найти их уравнения, мы сначала вычислить вектор плоскости н. для Этого поступают следующим образом: находят любые два вектора, принадлежащие одной плоскости, и вычислить векторное произведение. Это будет вектор, перпендикулярный к этой плоскости, т. е. n.:
M1M2 = (1; -1; 5); M1M3 = (-1; -2; -2);
n = [M1M2 ? M1M3] = (12; -3; -3)
Возьмем точку M1 для создания выразительных уровне. Получить:
D = -1 ? (12 ? 1 + (-3) ? 0 + (-3) ? 0) = -12;
12 ? x 3 ? y - 3 ? z - 12 = 0 =>
4 ? x - y - z - 4 = 0
У нас есть выражение общего вида для плоскости в пространстве, сделав сначала один вектор.
Свойство векторное произведение следует помнить, при решении задач с уровнями, потому что он позволяет простым способом определить координаты вектора нормали. Автор: Валерий Савельев 18. Ноябрь, 2018
Категория: Студентам